Liste des exposés (2024 - 2025)

La résolution numérique d’EDP amène généralement à la résolution de systèmes linéaires pour obtenir une solution approchée. Toutefois, plus la précision souhaitée est importante, plus la taille du système à résoudre devient grande, et le temps de calcul important. Ainsi, la décomposition de domaine offre une stratégie pour accélérer cette résolution. L’idée est de découper le domaine d’étude en sous-domaines, et d’itérer en mettant à jour les données d’interfaces entre les sous-domaines, jusqu’à convergence. Nous transformons donc la résolution d’un problème de grande taille en une suite de plus petits problèmes. Nous verrons alors comment optimiser l’algorithme afin d’effectuer le moins d’itérations possible, et d’obtenir un gain de temps important.

We are interested in the numerical simulation of shock waves interacting with deformable struc- tures. This problem presents many difficulties, particularly due to its multi-scale nature in both space and time. The monolithic method involves solving this problem within a single domain using a unified numerical approach. The time step in this method is constrained by the fastest wave velocity within the domain. Conversely, the coupling method involves dividing the simulation domain into several parts to tailor the numerical strategy to the local physics. This approach allows for the selection of the most suitable numerical method for solving the problem. We model the fluid using Euler equations and the solid using a hyperelasticity model. We propose a coupled method that employs conservative and entropic schemes for both domains (issued from [2] or [6] for the fluid, and from [1, 3, 4, 5] for the solid) and incorporates local time stepping for each domain. Furthermore, we extend this method to achieve second-order accuracy in both time and space. We use an Arbitrary-Lagrangian-Eulerian (ALE) framework, which ensures the Lagrangian behavior of the fluid-solid interface. This method is being extended to incorporate a semi-conformal approach at the interface. We discuss how to address the interface problem in a way that preserves the numerical methods’ properties, with a particular focus on the conservation of mass, momentum, and total energy. We assess this method through examples of fluid-structure interaction.

REFERENCES [1] W. Boscheri, R. Loubère and P-H Maire “A 3D cell-centered ADER MOOD Finite Volume method for solving updated Lagrangian hyperelasticity on unstructured grids”, Journal of Computational Physics, 449, 2022. [2] G. Carré, S. Del Pino, B. Després and E. Labourasse “A cell-centered Lagrangian hy- drodynamics scheme in arbitrary dimension”, Journal of Computational Physics, 228(14), 5160–5183, 2009 [3] G. Georges “Développement d’un schéma aux volumes finis centré lagrangien pour la résolution 3D des ´equations de l’hydrodynamique et de l’hyperélasticité”, Ph.D thesis, Uni- versit´e de Bordeaux, 2016 [4] G. Kluth “Analyse mathématique et numérique de systèmes hyperélastiques et introduction à la plasticité” Ph.D thesis, Université de Bordeaux, 2008 [5] G. Kluth, B. Despr´es “Discretization of hyperelasticity on unstructured mesh with a cell- centered Lagrangian scheme” Journal of Computational Physics 229(24), 9092-9118, 2010 [6] P-H Maire, R. Abgrall, J. Breil and J. Ovadia, “A cell-centered Lagrangian scheme for two- dimensional compressible flow problems” SIAM Journal on Scientific Computing 29(4), 1781–1824, 2007

L’histoire des groupes quantiques est pavée d’allers-retours entre la physique et les mathématiques. C’est au milieu des années 80' que ceux-ci, sous l’impulsion des travaux de Drinfeld et Jimbo, sont formalisés algébriquement et ouvrent la voix à nombre de résultats et d’applications qui continuent de se développer aujourd’hui : invariants de noeuds, topologie en basse dimension ou encore théorie des représentations des groupes algébriques en caractéristique non nulle. Dans cet exposé, je donnerai le contexte historique dans lequel les groupes quantiques sont apparus, en discutant notamment de leurs inspirations physiques. Nous verrons ensuite de quelle manière on peut construire des groupes quantiques en déformant l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie, en détaillant explicitement la construction de la déformation quantique de l’algèbre de lie sl_2. Si le temps le permet, nous discuterons rapidement de la manière dont on se sert des groupes quantiques (quasi-triangulaires) pour construire des invariants de noeuds.

Le lemme de Siegel est un outil pour trouver des "petites" solutions à un système linéaire. C’est un ingrédient crucial dans la preuve du théorème de Roth en approximation diophantienne. Après avoir présenté une application du théorème de Roth à l’étude des équations diophantiennes de Thue on expliquera pourquoi le lemme de Siegel est important dans la démonstration de ce théorème. Ensuite, on montrera comment le lemme de Siegel peut être obtenu à l’aide de la géométrie des nombres et du théorème de Minkowski. Si le temps le permet, on énoncera des généralisations aux cas des corps de nombres et des corps de fonctions où le théorème de Minkowski est remplacé par the théorème de Riemann-Roch.