Liste des exposés (2015 - 2016)

Ce travail a pour objectif de générer des modèles vasculaires cérébraux et de simuler des écoulements sanguins réalistes à l’intérieur de ces modèles. La première étape consiste à segmenter/reconstruire le volume 3D du réseau vasculaire. À partir de ces volumes vasculaires segmentés et maillés, il est alors possible de simuler des écoulements sanguins à l’intérieur de ceux-ci. Dans un premier temps, nous ferons un tour d’horizon des méthodes variationnelles utilisées pour la segmentation. Nous proposerons un modèle qui inclut un a priori de tubularité et de direction dans la formulation variationnelle pour extraire les structures tubulaires telles que les vaisseaux sanguins. Des résultats seront fournis sur des images synthétiques 2D, ainsi que sur des images rétiniennes. En ce qui concerne la simulation, nous nous intéresserons au réseau veineux cérébral, encore peu étudié. Les équations qui régissent les écoulements sanguins sont alors les équations de Navier-Stokes avec des conditions aux limites mêlées. Pour résoudre ces équations, la méthode classique des caractéristiques sera comparée avec un schéma d’ordre plus élevé. Une fois ces deux schémas validés sur des solutions analytiques, nous les appliquerons au cas réaliste du réseau veineux cérébral.

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Nous présenterons le modèle quantique décrivant le phénomène de résonance magnétique nucléaire afin d’introduire sa description classique par les équations de Bloch. Ceci nous permettra de faire ressortir les différents éléments fondamentaux constitutifs de l’IRM, en vue de la réalisation de simulations numériques du phénomène.

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Récemment, Neshveyev et Tuset ont largement clarifié le rôle des groupes quantiques dans les déformations de C*-algèbres, en développant une formidable théorie concernant les actions continues de groupes quantiques localement compacts sur une C*-algèbre ainsi que les 2-cocycles unitaires définis sur le groupe quantique dual. Cependant la construction d’un 2-cocycle unitaire dual peut s’avérer délicate dans le cas non-abélien. Notre objectif est de présenter les outils de la quantification équivariante permettant de construire des 2-cocycles sur des groupes quantiques localement compacts. Nous donnerons des exemples explicites de 2-cocycles unitaires récemment construits dans le cas des groupes de Lie kählériens et du groupe affine d’un corps local.

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La cascade RAF-MEK-ERK est une des principales voies oncogéniques. Son implication dans l’apparition des cancers chez l’homme a été mise en évidence dans pratiquement tous les types de tumeurs, notamment avec la découverte de mutations somatiques activant les gènes RAS/RAF. Dans le carcinome hépatocellulaire (CHC), qui est la forme la plus fréquente de cancer primitif du foie, la voie RAF-MEK-ERK est constamment retrouvée activée. Cependant, cette activation survient en l’absence de mutations de RAS/RAF et des mécanismes complexes sont impliqués. Le Sorafénib, le médicament de référence et le seul présentant une efficacité prouvée, est un inhibiteur de la voie RAF-MEK-ERK. Pour mieux comprendre comment la voie RAF-MEK-ERK est régulée dans le contexte du ciblage thérapeutique, nous avons utilisé une approche systémique des composants de cette voie dans un panel de cellules du CHC exposées au Sorafénib. Un modèle mathématique, basé sur la cinétique de Michaelis-Menten, a été construit pour analyser la régulation des kinases BRAF, CRAF, MEK et ERK dans trois lignées cellulaires, exposant chacune un profil de sensibilité différent au Sorafénib.

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This talk addresses the following shape matching problem: given a `template' shape \( \Omega_0 \), numerically described by means of a computational mesh, and a `target' shape \( \Omega_T \), known only via a signed distance function to its boundary, we aim at deforming iteratively the mesh of the template shape into a computational mesh of the target shape. To achieve this goal, we rely on techniques from shape optimization. The proposed method may be used as a means to appraise how much \( \Omega_0\) and \(\Omega_T\) differ from one another - for instance in shape retrieval, classification or recognition - or to achieve physically the transformation from \( \Omega_0\) to \(\Omega_T\) (in shape registration, reconstruction, or shape simplification). Under the sole assumption that both shapes share the same topology, the desired transformation is realized as a sequence of elastic displacements, which are obtained by minimizing an energy functional based on the distance between the two shapes. In doing so, it is expected that the deformation will be easier to achieve in numerical practice, and in particular by limiting the troubles due to mesh tangling. The proposed method has been implemented in a finite elements setting and numerical examples in two and three dimensions are presented to illustrate its efficiency. The proposed method will be used to address the craniofacial reconstruction problem : we aim at virtually reconstructing a face starting fro the sole datum of the underlying raw skull.

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En dualisant les axiomes sur une algèbre, on définit la notion de cogèbre. C’est un espace vectoriel muni d’un coproduit et d’une counité vérifiant certaines relations (coassociativité…​). On peut alors introduire la notion d’algèbre de Hopf: c’est à la fois une algèbre et une cogèbre avec de bonnes compatibilités entre le produit et le coproduit. Nous présentons deux exemples d’algèbres de Hopf : l’algèbre de Connes-Kreimer des forêts enracinées \( \mathbf{H}^{\mathcal{D}}_{CK} et l’algèbre de battage S h D \) \mathbf{Sh}^{\mathcal{D}} . La dernière partie de l’exposé est consacrée à la description des morphismes d’algèbres de Hopf de \( \mathbf{H}^{\mathcal{D}}_{CK} dans S h D \mathbf{Sh}^{\mathcal{D}} \). Deux objets combinatoires apparaissent alors naturellement: les ordres linéaires sur les forêts et les partitions d’une forêt.

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Dans un premier temps, on présentera des notions importantes dans l’étude des marchés financiers en temps discret. On insistera en particulier sur les deux notions suivantes ainsi que quelques résultats importants liés :

Ensuite, on présentera les résultats obtenus dans le cas de maximisation d’espérance d’utilité non-concave pour une fonction définie sur les réels positifs. On s’efforcera de donner les grandes lignes de la preuve et en particulier des techniques utilisées (programmation dynamique, sélection mesurable). Enfin, on abordera brièvement le cas de la maximisation d’espérance d’utilité dans le cas robuste.

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En 1973, Y. Nambu a proposé une généralisation de la mécanique Hamiltonienne, basée sur la notion de n-crochet en lieu et place du crochet de Poisson usuel. La dynamique de Nambu est décrite par le flot donné par un système dsant intervenir n-1 Hamiltoniens :

\[ \dfrac{du}{dt} = \lbrace u, h_1, \cdots, h_{n-1} \rbrace \].

Le crochet de Nambu satisfait les propriétés suivantes :

\[ \begin{aligned} &\text{(Leibniz)} & \lbrace f_1, \cdots, f_{n-1}, gh \rbrace = \lbrace f_1, \cdots, f_{n-1}, g \rbrace h + g \lbrace f_1, \cdots, f_{n-1}, h \rbrace ;\\\\ &\text{(Filippov-Jacobi) } & \lbrace f_1, \cdots, f_{n-1}, \lbrace g_1, \cdots , g_n \rbrace \rbrace = \sum\limits_i \lbrace g_1, \cdots, \lbrace f_1, \cdots , f_{n-1}, g_i \rbrace , \cdots , g_n \rbrace ;\\\\ &\text{(antisymétrie) } & \lbrace f_{\sigma(1)}, \cdots, f_{\sigma(n)} \rbrace = sign (\sigma) \lbrace f_1, \cdots, f_{n} \rbrace . \end{aligned} \]

Pour \( n = 2\) , on retrouve la définition du crochet de Poisson. Un premier exemple, proposé par Nambu, est donné par le Jacobien sur les fonctions de n n variables :

\[ \lbrace f_1, \cdots, f_{n} \rbrace = \det \left( \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)^n_{i,j=1} \qquad (*) \]

C’est en fait le "seul" : on montrera dans cet exposé le résultat suivant. Théorème : Pour \( n > 2 \), toute algèbre de Nambu-Poisson simple linéairement compacte est isomorphe à l’algèbre des séries formelles à \(n\) variables munie du crochet \((*)\) . Cette classification sur laquelle j’ai travaillé à l’Université de Bologne a été obtenue par N. Cantarini et V. Kac l’année dernière.

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Risks evaluation is now a major issue in our society. In dietary risk, hydrology, nuclear security, finance or insurance, for which the risk analysis has become essential, risk theory plays a leading role and is now in the application field of the probability tools and the statistical methods. In this context, most of the stochastic processes can be written from a sequence of random length whose components are random variables. Therefore, during my presentation, I will present you the foundation of regular variations for regularly varying sequences whose length is driven by a random variable in order to develop risk measures. By way of applications, I will suggest risk indicators for a class of processes covered by our framework : the Shot Noise Processes. The goal is to supplement the information given by the most used ones : the ruin probability and the tail process.

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Une algèbre de Hopf est un espace vectoriel muni d’une structure de bigèbre (ie; d’algèbre et de cogèbre avec une propriété de compatibilité supplémentaire) et possédant une application particulière appelée antipode. Dans le cas d’un espace gradué et connexe, la condition d’existence de l’antipode est automatique. Dans cet exposé, on expliquera la notion d’algèbre de Hopf graduée connexe par l’intermédiaire d’un exemple classique que sont les algèbres de battages. On étudiera par la suite une algèbre de mots tassés, introduite par G.H.E. Duchamp, N. Hoang-Nghia et A. Tanasa et notée WMat. On cherchera à répondre à quelques questions classiques pour appréhender cette algèbre de Hopf : présentation de l’algèbre, présentation de l’algèbre duale, constructions d’algèbres de Hopf quotients, détermination d’éléments particuliers.

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Quantification par déformation du point de vue mathématique, est un processus qui permet d’établir un passage entre une algèbre commutative et un certain nombre d’algèbres non-commutatives. Dans cet exposé, nous serons intéressés par deux types de déformations respectant par ailleurs l’action d’un groupe de symétrie. La première est basée sur les opérateurs différentiels appelés crochets de Rankin-Cohen introduit par Rankin et Cohen, comme les opérateurs différentiels préservent la modularité. La seconde utilise les résultats de Drinfeld pour construire un "twist" de l’élément canonique associée à la dualité de Shapovalov. Enfin, en utilisant les matrices de fusion (des opérateurs d’entrelacement de certains modules), je vous présenteraismon dernier travail qui établit une relation entre ces deux déformations.

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Développée par Mumford dans les années 1960, la théorie géométrique des invariants (GIT) est une méthode pour construire des espaces de modules paramétrant des objets géométriques en tant que quotients de variétés algébriques par une action de groupe. Cet exposé a pour but de présenter sur des cas particuliers différents types de quotients en géométrie algébrique (quotients géométriques, quotients catégoriques, quotients GIT), et j’essaierai d’en donner une application, due à Thaddeus.

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La modélisation d’écoulements à grand nombre de Mach est un enjeu essentiel en physique stellaire. En effet, tout au long de sa vie, une étoile est génératrice d’écoulements radiatifs supersoniques. Dans ces plasmas, les conditions hydrodynamiques sont telles que les hautes températures imposent une forte émission de rayonnement. Par conséquent, il est nécessaire de considérer le couplage entre l’hydrodynamique et le transfert radiatif. Développé depuis quelques années, le code HADES permet d’effectuer des simulations 2D de modèles d’hydrodynamique radiative. Les EDP de l’hydrodynamique et du transfert de rayonnement sont écrites sous forme conservative et résolues par des schémas de type volumes finis. Nous proposons une application aux étoiles pulsantes : les Céphéides. Lorsque l’étoile présente une atmosphère calme, elle émet un continuum et les photons dans la raie H alpha sont absorbés par l’atmosphère et l’enveloppe. Cependant, les observations montrent que les Céphéides de longue période présentent des asymétries dans les profils de raies H alpha (absorption et émission). Les astronomes supposent que ces asymétries sont causées par la présence de chocs forts. L’intérêt de notre travail est d’utiliser l’outil numérique pour effectuer des simulations de chocs dans l’enveloppe des Céphéides, mais aussi, de reconstruire un observable autour de la raie H alpha qui est essentiel pour comparer nos résultats numériques avec les observations spectroscopiques.

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Contrairement aux animaux, la croissance des plantes se fait au niveau de leurs extrémités à l’aide d’organes appelés méristèmes. Ce sont principalement dans ces organes que les cellules se divisent et se différencient afin de donner forme et structure à la plante. Plus précisément, ce sont les parois cellulaires qui imposent la forme d’une plante en formant la structure mécanique la supportant. La morphogenèse est alors obtenue grâce à une modification de cette structure mécanique déformée par la pression de turgescence. Un modèle utilisant une méthode aux éléments finis a été développée dans la plateforme open-source SOFA afin de simuler la croissance de ce tissu. L’apport de matière dû à la croissance y est considéré comme une déformation plastique des parois cellulaires, calculée en fonction de leur déformation élastique causée par la pression de turgescence, d’un seuil de déformation élastique et d’une vitesse de croissance. Afin d’améliorer la rapidité de calcul et de permettre le passage à l’échelle, nous proposons une méthode sans maillage permettant de caractériser la déformation mécanique par la déformation de repères répartis dans le volume.

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Dans cet exposé, nous déterminons l’ordre de convergence d’un schéma aux différences finies grâce à une méthode basée sur les entropies relatives. La méthode est détaillée sur l’équation de Korteweg-de Vries, qui sert par exemple à modéliser la propagation de vagues en eau peu profonde. Cette équation présente à la fois une non-linéarité et un terme dispersif, ce qui invalide les méthodes classiques d’étude de convergence comme par exemple, la stabilité dans \( L^2(\mathbb{R})\) par utilisation de la transformée de Fourier ou la convergence par entropies de Kruzkov.

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On s’intéresse à l’approximation par des méthodes éléments finis d’un problème de transmission 2D dans une cavité composée de deux matériaux : un matériau dit positif (caractérisé par un paramètre \(\sigma >0\) , et un matériau négatif (\( \sigma < 0\) ). Ce type de problèmes apparait en plasmonique, lors de l’étude des ondes électromagnétiques dans une cavité métal-diélectrique aux fréquences optiques. À cause du changement de signe de \( \sigma \) , les outils classiques d’analyse pour étudier l’existence et l’unicité de la solution ne sont plus utilisables. Grâce à la méthode de la T-coercivité, nous pouvons retrouver un problème de type Fredholm sous certaines conditions sur \( \sigma \), et sur la géométrie de l’interface entre les deux milieux. Si ces conditions sont remplies, la convergence des méthodes numériques éléments finis est assurée dès lors que le maillage respecte certaines propriétés de symétrie, surtout au voisinage des coins de l’interface. Dans cet exposé nous présentons la méthode de la T-coercivitéet les régles de maillage à respecter pour assurer la convergence numérique.)

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La recherche en climatologie et en océanographie a conduit à résoudre des EDP de plus en plus complexes sur des domaines de plus en plus variés. Un domaine de calcul naturel est celui de la sphère. Nous proposons dans cet exposé une méthode basée sur les différences finies sur un maillage de type Cube-Sphère. Nous verrons comment construire le maillage Cube-Sphère et comment sont calculées les dérivées grâce à des schémas à l’ordre 4. L’ensemble sera utilisé pour le calcul du gradient sphérique. Pour illustrer cela, ce calcul est utilisé sur l’équation de transport sphérique. La discrétisation en temps est effectuée par un schéma de Runge-Kutta filtré en espace. De manière à valider la méthode deux tests sont effectués : le bump en rotation et le vortex stationnaire.

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L’objectif de ce stage a été l’amélioration d’un maillage issu de l’imagerie médicale afin que celui-ci soit utilisable pour des simulations numériques en éléments finis. En électro-encéphalographie, on mesure le potentiel électrique à la surface de la tête et on cherche à localiser les sources d’activité cérébrale qui sont à l’origine de ces mesures. Dans le cadre de ce stage, nous avons étudié le problème direct en EEG chez le nouveau-né afin de pouvoir étudier l’influence de la fontanelle sur les résultats obtenus.