Liste des exposés (2013 - 2014)

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La catégorification des invariants quantiques a commencé dans les années 2000 avec l’homologie de Khovanov dont la caractéristique d’Euler graduée est le polynôme de Jones. J’expliquerai comment on peut catégorifier l’invariant \(\mathfrak{sl}_3\) colorié à l’aide de "petits arbres". Cette catégorification repose sur la construction d’une algèbre différentielle graduée dont l’homologie est la représentation \( V_{m,n}\) de \(\mathfrak{sl}_3\). J’essaierai d’avoir une approche combinatoire, élémentaire et, je l’espère, amusante.

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La dynamique complexe consiste en l’étude des itérés d’un endomorphisme \( f \) d’une variété complexe \( X \) . Une grande partie de l’exposé sera consacrée au cas le plus simple : \(X\) est le plan complexe \(\mathbb C\) et \( f \) un polynôme. Malgré la simplicité de leur définition, ces systèmes possèdent une dynamique très riche. En particulier, leur lieu chaotique, l’ensemble de Julia, est un fractale avec de nombreuses propriétés géométriques et dynamiques. Si le temps le permet, j’expliquerai aussi quels sont les nouveaux phénomènes qui apparaissent en plus grande dimension.

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Les équations de Schrödinger non linéaire (NLS) apparaissent dans plusieurs domaines de la physique telle que la description de la propagation d’un signal dans une fibre optique, en physique des plasmas ou encore en mécanique quantique. Lors des dernières années un intérêt très vif a été porté sur l’analyse de l’influence d’un défaut sur le comportement des solutions, le défaut pouvant être considéré physiquement comme une impureté dans le domaine d’étude. Dans notre exposé, nous nous intéressons à l’étude théorique et numérique de solutions de l’équation NLS dans le cas de solutions radiales et de défaut surfacique radial, i.e. en supposant que la singularité est portée par une hypersphère.

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En dualisant les axiomes sur une algèbre, on définit la notion de cogèbre. C’est un espace vectoriel muni d’un coproduit et d’une counité vérifiant certaines relations (coassociativité…​). On peut alors introduire la notion d’algèbre de Hopf : c’est à la fois une algèbre et une cogèbre avec de bonnes compatibilités entre le produit et le coproduit. On s’intéresse ensuite aux algèbres de battages et de quasi-battages qui sont des exemples importants d’algèbres de Hopf. On donne quelques propriétés importantes sur ces algèbres. Enfin, on s’intéresse aux fonctions zeta multiples en expliquant le lien entre ces objets et les algèbres de battages et de quasi-battages.

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Une image numérique en noir et blanc peut être identifiée à une application de l’ensemble \( \Lambda \) des pixels dans l’ensemble \( \{0,1\} \). En analyse bayésienne, il est usuel de munir l’ensemble \(\{0,1\}^{\Lambda}\) des images (de taille donnée) d’une loi appelée mesure de Gibbs (issue de la physique statistique), définie au facteur de normalisation près. La simulation d’observations selon cette loi par des méthodes naïves se heurte à la difficulté que le calcul de la constante de normalisation est souvent inextricable (du fait de la taille de \(\{0,1\}^{\Lambda}\) . Une issue est le recours à l’algorithme de Metropolis-Hastings, simulant une trajectoire d’une chaîne de Markov sur \( \{0,1\}^{\Lambda}\), dont le comportement asymptotique est décrit par la mesure de Gibbs. Lorsqu’une image bruitée (altérée) est observée, on peut estimer (reconstituer) l’image d’origine en calculant le mode (la valeur la plus probable) de la mesure de Gibbs, grâce à l’algorithme de Metropolis-Hastings.)

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Thin objects in 3D volumes, for instance vascular networks in medical imaging or various kinds of fibres in materials science, have been of interest for some time to computer vision. Particularly, tubular objects are everywhere elongated in one principal direction - which varies spatially - and are thin in the other two perpendicular directions. Filters for detecting such structures use for instance an analysis of the three principal directions of the Hessian, which is a local feature. In this article, we present a low-level tubular structure detection filter. This filter relies on paths, which are semi-global features that avoid any blurring effect induced by scale-space convolution. More precisely, our filter is based on recently developed morphological path operators. These require sampling only in a few principal directions, are robust to noise and do not assume feature regularity. We show that by ranking the directional response of this operator, we are further able to efficiently distinguish between blob, thin planar and tubular structures. We validate this approach on several applications, both from a qualitative and a quantitative point of view, demonstrating noise robustness and an efficient response on tubular structures.

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pression intracrânienne est un paramètre vital en clinique, cependant celle-ci ne peut pas être mesurée de manière non invasive. On se propose donc de simuler les écoulements du liquide cérébrospinal (LCS) afin d’en déterminer la pression. Cette simulation doit prendre en compte les données anatomiques et physiologiques afin de représenter au mieux ce système complexe, données qui nous sont fournis par l’IRM morphologique et de flux.

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Cette thèse porte sur la simulation d’images d’IRM par un outil informatique. On souhaite donc obtenir un logiciel d’IRM « virtuelle », capable de générer les mêmes images qu’une machine réelle. De nombreuses recherches ont déjà été effectuées dans ce domaine et ont abouti à la création de plusieurs logiciels de simulation (Simri, Jemris, Odin…​). Nous avons donc choisi d’apporter des modifications au logiciel open-source Jemris afin de l’adapter à l’imagerie du flux sanguin. Ces travaux, menés en collaboration avec d’autres équipes, pourraient notamment trouver des applications médicales pour la simulation de cas pathologiques (obstruction de vaisseau sanguin, anévrysme, sténose…​). On présentera les base physiques de l’IRM (précession des spins en champ magnétique, résonance magnétique nucléaire, relaxation…​), les ingrédients nécessaires pour une simulation informatique réaliste, les premières images obtenues ainsi que les expériences en cours.

La théorie de déformation des C*-algèbres munies d’une action de groupe est l’une des approches non-formelles à la quantification par déformation. Elle a été introduite par Rieffel en 1973 afin de construire, dans le cadre des algèbres d’opérateurs, des exemples de quantification des variétés de Poisson. En 2010 Pierre Bieliavsky et Victor Gayral ont généralisé cette construction pour les actions des groupes de Lie kählériens à courbure négative sur les C*-algèbres. Une autre façon de généraliser la construction originale de Rieffel consiste à sortir du cadre des groupes de Lie. Nous nous proposons ici d’étudier la déformation des C*-algèbres munies d’actions de groupes p-adiques. Cette construction repose sur une version p-adique du calcul pseudo-différentiel de Weyl.

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La gestion des risques alimentaires est devenue une problématique primordiale dans notre société. Une fois l’évaluation de l’exposition de contamination effectuée, on cherche à modéliser la dynamique du contaminant dans le corps humain afin d’anticiper un risque potentiel et permettre ainsi aux pouvoirs publics de mettre en place des mesures sanitaires adaptées.

Fondés sur les modèles de ruine de Cramer-Lunderg et de Sparre Andersen datant du début du 20ème siècle, qui décrivent l’évolution des réserves dans une compagnie d’assurances et mettent en évidence une hypothétique insolvabilité ou une incapacité à faire face à ses engagements, le modèle KDEM (Kynetic Dietary Exposure Model), développé en 2006 au sein de l’unité Met@risk de l’INRA est un modèle dynamique d’exposition à un contaminant.

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Vous avez toujours voulu savoir ce qu’est l’homologie d’un poset, sans jamais oser le demander ? Vous aimez les simplexes ? Cet exposé est fait pour vous ! Après avoir défini les posets et les complexes simpliciaux qui y sont associés, nous introduirons un invariant des posets, appelé nombre de Möbius. Ce nombre de Möbius se trouve être lié à la caractéristique d’Euler du poset, qui est la somme alternée des dimensions des groupes d’homologie du poset. A l’aide d’exemples et de calculs explicites, nous vous ferons découvrir le monde merveilleux de l’homologie des posets. Nous nous attarderons plus particulièrement sur le poset des partitions.

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Notre objetif pendant cette présentation est d’introduire les matrices de fusion entre deux représentations V et W d’une algèbre de Lie (semi-simple) \(J_{WV}:W\otimes V\to W\otimes V\) et d’établir une relation avec les *-produits invariants.

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Nous avons tous eu un jour à compléter un triangle de Pascal pour obtenir des coefficients binomiaux. Changeons à présent les règles du jeu de la manière suivante :

\[ \begin{matrix} & {\color{Blue} y} & \\ {\color{Red} x} & & \frac{1+{\color{Blue} {yz}}}{{\color{Red} x}}\\ & {\color{Blue} z} & \end{matrix} \]

On obtient encore des entiers, et en plus c’est périodique ! Miracle ? Pas si sûr. Nous percerons le mystère de ces frises introduites il y a quarantes ans par Coxeter, nous menant naturellement à la notion d’algèbres ammassées et à l’apparition surprenante des diagrammes de Dynkin.

\[ \begin{array}{lllllll} 1 & 1 & 1 &1 &1 &1 &1 &1\\ 1 & \color{Blue}{2} & \color{Blue} 3 & \color{Blue}1 &\color{Blue}2 &\color{Blue}3 &\color{Blue}1 & \color{Blue} 2\\ 1 & \color{Blue} 5 &\color{Blue} 2 &\color{Blue}1 &\color{Blue}5 &\color{Blue}2 &\color{Blue}1 &\color{Blue}5\\ 1 & \color{Blue}2 &\color{Blue} 3 &\color{Blue}1 &\color{Blue}2 &\color{Blue}3 &\color{Blue}1 &\color{Blue}2\\ 1 & 1 & 1 &1 &1 &1 &1 &1 \end{array} \]

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L’objectif de ce travail est de simuler des écoulements sanguins réalistes à l’intérieur du réseau veineux cérébral à une échelle macroscopique. La première étape consiste à reconstruire le volume 3D du réseau vasculaire ; c’est ce que l’on appelle la segmentation. Une fois obtenus, ces volumes vasculaires « bruts » sont structurés à l’aide d’éléments tétraédriques pour obtenir un maillage 3D. A partir de ces maillages, il est alors possible de mettre en place des processus de simulation d’écoulements sanguins. Le sang, considéré comme un fluide newtonien et incompressible, est alors régi par les équations de Navier-Stokes.

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Dans cet exposé, nous nous intéressons à l’étude du support singulier d’un problème de Cauchy ramifié. Nous cherchons la solution sous la forme d’un développement asymptotique de fonctions hypergéométriques de Gauss ; ce qui nous simplifiera l’étude des singularités et du prolongement analytique. Nos résultats seront illustrés à travers quelques exemples concrets.