Liste des exposés (2016 - 2017)

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Je commencerai par une brève introduction sur les raisons qui nous poussent à développer l’imagerie micro-ondes ces dernières années. J’introduirai ensuite le cadre théorique avec les équations de Maxwell, et j’évoquerai également la résolution numérique de celles-ci. On retournera du côté théorique avec l’analyse de sensibilité appliquée à ces équations. J’expliquerai pourquoi je m’y suis intéressé et j’exposerai quelques résultats que j’ai obtenus. Je terminerai par une partie numérique avec quelques conjectures qui m’ont permis d’écrire un premier algorithme de résolution numérique du problème inverse qui m’intéresse.

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Le but de cet exposé est d’interpréter les séries de Fourier en termes d’actions de groupes et d’équations différentielles ; les prérequis se limitent à des notions d’analyse et d’algèbre vues en license. Le groupe considéré ici est simplement \( O(n) \), mais le point de vue développé dans l’exposé montre comment s’y prendre pour obtenir des résultats similaires pour d’autres groupes. Plus précisément, on s’intéresse à l’espace de Hilbert \( H=L^2(S(n-1)) \). Dans le cas \( n=2 \), on s’aperçoit qu’écrire les séries de Fourier traditionnelles revient à exploiter les sous-espaces de \(H\) qui sont invariants et irréductibles sous l’action naturelle du groupe \(O(2)\). On observe que ces sous-espaces sont des espaces propres d’un opérateur important, qui peut être défini à l’aide de l’algèbre de Lie de \(O(2)\) (on expliquera cette notion d’algèbre de Lie) ; chaque espace propre correspond ainsi à une certaine équation différentielle. En s’inspirant de ces observations, on définit la notion de série de Fourier en dimension n quelconque, relativement à l’action naturelle de \(O(n)\), pour déboucher enfin sur des équations différentielles ordinaires du second ordre bien connues.

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In this talk I review some basics results in the theory of compressed sensing and sparse approximation and describe recent advancements in this area. I will then describe how we can such tools to development numerical schemes for approximating the solutions to a class of elliptic operators paramtrized by potentially infinitely many parameters. Our approach is based on a multilevel approximation of the solution in a hierarchy of nested family of subspaces. The parametric solution is computed from a level-dependent number of random samples in the parameter space and compressed sensing is used to recover the most important coefficients in a generalized polynomial expansion. The whole framework allows for a recovery of the whole parametric solution in a work which is asymptotically equals to that of one Petrov-Galerkin solve at the finest level.

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Dans ce travail, nous étudions un modèle semi-paramétrique défini par des contraintes de moments, avec un paramètre inconnu. En se plaçant dans un cadre de censure à droite, nous dérivons des estimateurs, des régions de confiance et des tests pour le paramètre d’intérêt, par la projection de la mesure empirique de Kaplan-Meier sur le modèle considéré. Cette approche mène à une adaptation naturelle de la méthode de la vraisemblance empirique au contexte des données censurées. Les propriétés asymptotiques des estimateurs et des tests proposés sont étudiées, notamment la consistance faible et les distributions limites.

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L’imagerie des flux sanguins est couramment utilisée comme routine clinique pour la détection et le suivi des affections neurovasculaires les plus courantes. Dans cet exposé, nous aborderons brièvement les principales motivations de la simulation IRM, puis nous présenterons la méthode employée pour simuler la physique de l’IRM, ainsi que son adaptation au cas des flux sanguins. Les principaux résultats de simulation obtenus au cours de la thèse seront ensuite présentés.

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A one-dimensional multi-species cross-diffusion system with non-zero-flux boundary conditions on a moving domain will be proposed and analyzed. This model is motivated by the modeling of a Physical Vapor Deposition process. The existence of a global weak solution to the obtained system and the existence of a solution to an optimal control problem defined on the fluxes is established under the assumption that the solution to the considered cross-diffusion system is unique. In the case when the imposed external fluxes are constant, the concentrations of the different species converge in the long-time limit to constant profiles at a rate inversely proportional to time. These theoretical results are illustrated by several numerical tests.