Liste des exposés (2022 - 2023)

Des simulations oculaires complexes sont consacrées à la modélisation de l’interaction entre la biomécanique, la dynamique des fluides et le transfert de chaleur à l’intérieur de l’œil. Ces différents aspects du même problème physique doivent être correctement reliés et chaque étape doit être vérifiée et validée dans l’intérêt d’une application médicale. Les modèles nécessitent la connaissance de divers paramètres et certains peuvent être des facteurs importants dans le développement des pathologies. Cependant, malgré les progrès significatifs réalisés récemment dans l’acquisition de données médicales, seuls certains paramètres et leur variabilité sont connus, tandis que d’autres ne peuvent être mesurés directement. Pour identifier les principaux facteurs qui influencent le comportement biomécanique de l’œil, il faut donc étudier l’influence de ces paramètres à travers un processus d’analyse de sensibilité qui nécessite de nombreuses évaluations des modèles. Comme les modèles 3D ne se prêtent pas directement à cette analyse de sensibilité, une étape de réduction est nécessaire pour atténuer le coût de calcul.

Dans cet exposé, nous donnerons une aperçu des méthodes de réduction d’ordre, avec en particulier la méthodologie des bases réduites. Nous présenterons cette méthodologie appliquée à un modèle de transfert thermique dans le globe oculaire, suivi de résultats de validation et d’une analyse de sensibilité.

Edge-adapted methods have been introduced in the context of image processing to reconstruct high-resolution images from coarser cell averages. In particular, when images consist of piecewise smooth functions, the interfaces can be approximated by a pre-specified functional class (lines, circle arcs, etc) through optimization (LVIRA) or specific preprocessing (ENO-EA). In this talk, we will first explore some theoretical aspects of these nonlinear approximation spaces that are useful in the context of inverse problems. Secondly we will show an extension of the ENO-EA approach to polynomials of degree higher than 1 and compare this algebraic approach to that introduced in (LVIRA) as well as to learning-based methods [B. Desprs, H. Jourdren 2020] in which an artificial neural network (NN) (or in principle any other non linear sufficiently rich function family) is used to attain the same goal.

We investigate the problem of approximating a function in L^2 based on evaluations of the function at some chosen points. A first approach, using weighted least-squares at i.i.d random points, provides a near-best approximation, but with a sampling budget larger than the dimension of the approximation space. To reduce the gap between these two quantities, we need non i.i.d methods relying on linear algebra for sums of rank-one matrices.