Liste des exposés (2018 - 2019)

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Exemples d’applications de l’analyse harmonique sur les espaces homogènes L’objectif de cet exposé est de dégager quelques problématiques de l’analyse harmonique à travers quelques exemples sur les espaces homogènes. Les exemples sur lesquels on s’appuiera seront le plan euclidien et la sphère qui sont des espaces bien connus mais qui montrent déjà des problématiques intéressantes.

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We present a new blind source separation (BSS) method in order to separate linear instantaneous mixtures of independent/dependent source components. The proposed approach is based on minimizing appropriate criteria between copula densities. We extend a recent dependent BSS approach to cover the more general case, where the dependency structure of the source components and/or the related parameter may be unknown. We give simulation results to show that the proposed algorithms ensure accurate separation, where the classical other methods fail.

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Nous rappellerons dans cet exposé des faits classiques sur les représentations du groupe symétrique et nous verrons comment classifier les représentations irréductibles du groupe alterné. Si le temps le permet, nous étudierons le cas de ces représentations sur un corps de caractéristique positive.

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La médecine moderne dispose de différentes techniques d’imagerie médicale employées pour la détection des anomalies dans le cerveau. Le challenge actuel est de fournir aux médecins des outils de diagnostic appropries, non invasifs et non irradiants permettant de différencier les tissus sains et les tissus malades. Parmi les techniques proposées, il y a la tomographie optique diffuse (TOD) qui est basée sur l’absorption de la lumière dans l’échelle proche infrarouge des tissus biologiques, en particulier ceux du cerveau des enfants prématurés. L’objectif de la tomographie optique diffuse (TOD) est de reconstruire les propriétés optiques d’un milieu diffusant, à savoir ses coefficients d’absorption et de diffusion, pour obtenir des informations quantitatives sur le tissu biologique. Le problème de la (TOD) rentre dans la classe des problèmes inverses de reconstruction de paramètres à partir des données mesurées à la surface. Il nécessite le choix d’un modèle pour le problème direct qui consiste à décrire la propagation de la lumière dans les tissus biologiques. Nous présentons l’équation de la diffusion, qui est une approximation de l’équation du transfert radiatif (ETR) et dont l’inconnue est la densité des photons. Cette densité dépend de la position de la source lumineuse et des propriétés optiques du milieu. Nous montrerons comment ce problème direct dépend du nombre et de la position d’inclusions. Ensuite, nous formulerons précisément le problème inverse et présenterons sa résolution sous la forme de la minimisation d’une fonctionnelle. Nous terminerons par les premiers résultats obtenus à l’aide du logiciel Freefem.

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Après une présentation des problématiques générales de la combinatoire énumérative, j’introduirai les objets sur lesquels je travaille dans ma thèse : les cartes combinatoires, qui sont des graphes plongés sur des surfaces et qui peuvent être étudiés sous de nombreux angles (algébrique, bijectif, probabiliste, …). Je présenterai quelques résultats classiques sur les cartes, et si le temps le permet je parlerai un peu plus en détail des questions qui m’intéressent personnellement.

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Dans l’étude d’une représentation π d’un groupe de Lie G sur un espace vectoriel V, un ingrédient important est l’analyse de la restriction de π à un sous-groupe compact maximal K. Un vecteur v ∊ V tel que l’ensemble { π ( k ) v / ∀ k ∊ K } engendre un sous-espace vectoriel de dimension finie est dit K-fini. L’un des intérêts des vecteurs K-finis est qu’ils forment à eux tous un sous-espace vectoriel sur lequel est bien définie la différentielle d π de la représentation π (en l’élément neutre) ; d π est par définition une représentation de l’algèbre de Lie 𝔤 de G. Cela conduit aux notions de K-type et de ( 𝔤 , K) -module, plus simples à appréhender que la représentation initiale π, de par la structure linéaire de la différentielle d π . Dans cet exposé, nous présenterons toutes les notions nécessaires pour définir un ( 𝔤 , K) -module. Nous verrons sur des exemples comment décrire et utiliser ces modules. Au passage, nous obtiendrons la classification de toutes les représentations irréductibles admissibles de SL( 2 , ℝ ). Nous terminerons avec la description des K-types d’une autre famille de représentations, dite série principale dégénérée de Sp( n , ℂ ).

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Deux grands problèmes de la Théorie des Représentations de groupe de Lie sont les suivants:

Les opérateurs de Dirac jouent un rôle important dans la résolution de ces deux problèmes (Dans cet essaie, un rôle important jouent les opérateurs de Dirac). Ces opérateurs, qui apparaissent comme des opérateurs différentiels invariants par l’action d’un groupe ou d’une algèbre de Lie, sont des racines carrés, en un certain sens, du laplacien. Dans cet exposé nous allons tenter d’esquisser quelques aspects de cette approche en commençant par définir les notions de base puis en présentant les résultats les plus importants. Si le temps nous le permet, nous aborderons quelques problématiques auxquelles je m’intéresse.

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Le patrimoine bâti en béton armé est aujourd’hui très important et certaines structures vieillissantes doivent être surveillées. À cette fin les opérateurs du génie civil ont besoin d’outils permettant de mesurer des paramètres caractéristiques de l’état du béton. La connaissance de la teneur en eau du béton constitue ainsi une information précieuse à des fins de contrôle non destructif des ouvrages. La teneur en eau est intimement liée aux paramètres diélectriques d’un matériau donné. Ces paramètres, qui apparaissent comme coefficients dans les équations de Maxwell, constituent les inconnues d’un problème inverse où la donnée est une mesure partielle du champ électrique diffracté par le matériau. Cette mesure, en quelques points de la surface du matériau et sur un intervalle de temps donné, est faite à l’aide d’un dispositif radar. Dans cet exposé nous allons expliquer le processus de mesure, puis nous détaillerons la formulation et la méthode de résolution numérique du problème direct, puis nous présenterons le problème inverse sous forme d’un problème d’optimisation d’une fonction coût. Pour finir nous donnerons quelques résultats obtenus sur des mesures réelles.

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À ce jour, il existe diverses techniques d’imagerie d’exploration de tissus biologiques. Je présenterai dans cet exposé mes travaux autour de la tomographie optique diffuse (et de fluorescence) résolue en temps TR-DOT(F), qui est une technique utilisant de la lumière située dans le proche infrarouge. L’enjeu en TR-DOT est d’être capable d’identifier des paramètres de diffusion et d’absorption du modèle à partir d’une série de mesures de contact, ou de non-contact, acquise sur une partie du bord du domaine. Le but, à terme, est de fournir aux praticiens des cartes des propriétés optiques du milieu avec une qualité suffisante afin d’effectuer des diagnostics précliniques en milieu hospitalier. Les images en TR-DOT sont connues pour avoir une mauvaise résolution spatiale. Nous considérons dans notre cas un modèle avec fluorescence afin d’améliorer le contraste des images. Ce couplage introduit de nouveaux paramètres à déterminer et nous amène à choisir une stratégie pour traiter le problème inverse. Je parlerai dans cet exposé du problème direct, du problème inverse et des premiers résultats obtenus à l’aide d’un code élément fini basé sur un langage DSEL nommé FEELpp.

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Un certain nombre de représentations sont obtenues par restriction d’une représentation d’un groupe G à un sous-groupe H. L’une des questions que l’on se pose est l’obtention de la décomposition en irréductibles d’une telle représentation : c’est la loi de branchement de la représentation. De plus, on peut alors vouloir connaître les opérateurs d’entrelacement pour le sous-groupe H : ce sont les opérateurs de brisure de symétrie. L’objectif de cet exposé est de présenter les notions de loi de branchement et d’opérateur de brisure de symétrie au travers de quelques exemples : transformation de Fourier, loi de branchement de Sn à Sn-1, crochets de Rankin-Cohen.

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Lorsqu’une étoile massive arrive à la fin de sa vie (environ 5 à 6 fois la masse solaire), l’étoile devient une supernova. Après l’explosion, un choc fort commence à se propager avec les éjectas de l’étoile dans le milieu circumstellaire puis dans le milieu interstellaire. Cet objet est appelé un reste de supernova (RSN). Lors de son expansion, le RSN accumule de la matière derrière le front du choc pour former une coquille. La théorie décrit trois phases d’expansion du RSN. La première phase correspond à la phase d’expansion balisitque avec un rayon R du RSN proportionnelle à l’âge t du RSN. Dans la seconde phase, appelée la phase de Sedov-Taylor, l’évolution est adiabatique (l’énergie totale du RSN est conservée) et R croit en R∝t^(2⁄5). Dans ce travail, nous présentons la phase tardive (phase radiative où l’énergie du RSN n’est plus conservée et le reste perd son énergie par refroidissement). Le rayon est alors donné par R∝t^n où l’exposant n satisfait n < 2⁄5. Dans cette étude, on prend en compte la dynamique du RSN et les pertes radiatives de manière consitante. En incluant les pertes dans l’équation d’énergie, on obtient de nouvelles solutions auto-semblables (SAS) qui décrit la structure 1D interne du RSN en même temps que son rayon en fonction de la magnitude et de la forme spatiale du refroidissement. Ces nouvelles solutions sont du “second type” ce qui signifie que nous devons résoudre un problème aux valeurs propres non linéaire pour trouver la SAS. L’exposant n decroît lorsque les pertes radiatives augmentent. De plus, la coquille est instable au sens de Rayleigh-Taylor (RT) pour certains refroidissements. Ces résultats devraient nous aider à interpréter des simulations récentes de Badjin et al. qui observent le développement de cette instabilité lors de la formation de la coquille fine en utilisant un refroidissement plus réaliste avec des tables d’opacités. Cette instabilité de RT pourrait expliquer la filamentation des RSN en phase tardive et pourrait se développer avant l’instabilité de Vishniac.

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I will explain about representations of the holomorphic automorphism groups of bounded homogeneous domains that are given as unitarizations of holomorphic multiplier representations and about their classifications. Based on the research on the same problem for a maximal connected real split solvable Lie subgroup by Hideyuki Ishi, I will give a condition in which a unitarization exists for every holomorphic multiplier of a certain non symmetric domain and classify them as unitary representation. These representations belong to the class of generalized highest weight unitary representation. Finally I will explain about classification of these representations with some examples.

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Les Céphéides sont des étoiles variables, c’est à dire que leur luminosité varie de façon périodique. L’étoile Polaire est par exemple une des Céphéides les plus connues, avec une période de variation de environ 4 jours. De plus, une Céphéide sera d’autant plus brillante que sa période est élevée, la relation Période-Luminosité (PL) découverte par Henrietta Leavitt en 1912 permet de déduire la puissance lumineuse intrinsèque de l’étoile, et, par comparaison avec la fraction de luminosité reçue sur Terre, il est possible d’en déduire la distance. C’est la technique fondamentale de mesure des distances extragalactiques, dont l’ampleur sera encore accrue grâce aux prochains télescopes, le James Space Webb Telescope (JWST) et l’European Extremely Large Telescope (E-ELT), qui permettront l’observation de Céphéides encore plus lointaines. Cependant, la relation PL peut-être affectée par l’existence d’une enveloppe circumstellaire autour des Céphéides, il est donc primordial de caractériser ces enveloppes afin de corriger les biais sur les distances, plus particulièrement il s’agit d’atteindre une précision de moins de 1% sur la constante de Hubble-Lemaître, c’est à dire sur la vitesse d’expansion de l’Univers.

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Les algèbres amassées sont des anneaux commutatifs avec un ensemble de générateurs qui sont définis de façon constructive par un procédé appelé mutation. Ces algèbres ont été introduites par Sergey Fomin et Andrei Zelevinsky en 2000 comme un outil pour étudier la positivité totale et les bases canoniques duales, dans le contexte de la théorie de Lie. Toutefois, depuis son introduction la théorie des algèbres amassées s’est développé en elle même et a trouvé des connexions et des applications dans d’autres domaines des mathématiques. Dans cet exposé nous ferons une première approche aux algèbres amassées avec des définitions et des exemples.

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Dans cette présentation, on s’intéresse à l’étude d’un modèle issu de la physique des plasmas hors-équilibres. Le plasma, également appelé "quatrième état de la matière'', est un état dans lequel un gaz s’ionise. Le milieu est alors composé d’ions et d’électrons, ce qui le rend sensible à la présence d’un champ électromagnétique. Le transport de telles particules chargées intervient dans le contexte de la Fusion par Confinement Inertiel (FCI) et peut être modélisé par le système d’Euler bi-température, qui est un système hyperbolique non-conservatif. Contrairement aux systèmes conservatifs, ce système ne peut s’écrire sous forme divergentielle. Par conséquent, lorsque la solution du système devient discontinue (par création d’une onde de choc), il apparait dans l’équation des termes s’écrivant comme des produits de distribution. Ainsi, pour un tel système, la définition et le calcul de solutions exactes ou approchées est un problème difficile. Dans cet exposé, on présente une approche visant à obtenir une méthode numérique de référence de résolution du système d’Euler bi-température. Pour cela, on s’intéresse à la résolution numérique d’un modèle cinétique sous-jacent, le système de Vlasov-BGK-Ampère. Ce système est conservatif dans sa partie hyperbolique et décrit les mêmes phénomènes qu’Euler bi-température à une échelle dite "cinétique'', bien plus petite que l’échelle macroscopique typique. Ainsi, sous réserve de respecter un certain jeu de contraintes numériques que l’on définira, cette approche permet d’obtenir des résultats numériques consistants avec Euler bi-température, sans passer par la définition de produits de distribution. On présente quelques cas test illustrant le comportement de notre méthode face à des méthodes développées directement à partir du système hyperbolique initial.