Liste des exposés (2017- 2018)

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Les Céphéides sont des étoiles pulsantes qui présentent des périodes de pulsation régulières. Les observations spectroscopiques et interférométriques montrent que les Céphéides de longue période présentent des asymétries au niveau de la raie H alpha. En effet, selon la phase de pulsation, nous observons une composante en emission décalée vers le rouge ou vers le bleu. Nous supposons que ces variations sont dues à des chocs qui se formeraient et se propageraient dans les enveloppes de ces étoiles à cause de leur pulsation. Dans cet exposé, nous présenterons les différentes étapes de travail qui ont pour but de comprendre comment les chocs modifient le spectre au niveau de la raie H alpha.

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Je propose de présenter succinctement ce qu’est un semi-groupe d’opérateurs et de montrer comment on l’utilise dans la résolution d’un problème de Cauchy abstrait. Je présenterai ensuite un problème inverse de reconstruction de source et une ébauche de la stratégie que l’on compte mettre en œuvre pour écrire une inégalité de stabilité sous l’hypothèse d’unicité de la solution.

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La topologie algébrique est une branche des mathématiques ayant pour but d’utiliser des objets de types algébriques afin d’étudier des espaces topologiques. En particulier, il s’agit, pour un espace donné, de lui fournir un ou plusieurs invariants afin d’en étudier les propriétés (homéomorphisme à un autre espace ou non, homotopie à un autre espace ou non…​). Nous allons étudier ici un cas particulier, particulièrement frappant, de cette large théorie : nous allons montrer que \(R^n\) n’est jamais homéomorphe à \(R^n\), dès que n est différent de m. Pour cela, nous allons d’abord introduire la notion d’homotopie, dresser ses caractères particuliers, et ramener le problème au cas des sphères \(S^n-1\) et \(S^m-1\), et nous allons prouver le résultat dans le cas ou \(n=1\) et \(m\) différent de \(1\) (l’invariant ici considéré ici est le groupe d’homotopie). Enfin, en introduisant l’homologie, et fort des résultats d’homotopie précédents, nous pourrons montrer le résultat tant attendu (l’invariant ici considéré sont les groupes d’homologie).

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Dans cet exposé nous commencerons par une introduction de la tomographie optique diffuse chez l’enfant prématuré. Ensuite, nous nous intéresserons à la modélisation et la simulation numérique par éléments finis du problème direct de la TOP puis, à l’analyse de sensibilité du problème direct et nous introduirons le problème inverse de la TOD.

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Après avoir définit une communauté en écologie, on en présentera un modèle dans le cas d’espèces herbacées. Les simulations présentées soulèvent plusieurs questions et nous répondrons de manières plus précises à certaines d’entre elles en rattachant ce modèle aux chaînes de Wright-Fisher. Ce cadre markovien nous permettra entre autres d’obtenir l’espérance du temps d’extinction d’une espèce au sein de la communauté.

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Différents modèles couplant l’hydrodynamique et le transfert de rayonnement sont utilisés pour l’étude d’écoulement intervenant en physique stellaire. L’une des stratégies utilisées consiste à coupler les équations d’Euler avec le modèle M1. Ce modèle comprend à la fois les variables hydrodynamiques classiques (telles que la densité, la pression, le champ de vitesse et l’énergie totale) et les variables radiatives (telles que l’énergie radiative, la pression radiative et le flux radiatif). Cependant, lorsque le milieu est optiquement très épais, le libre parcours moyen des photons est très petit devant la longueur caractéristique du milieu et les effets radiatifs peuvent être considérés comme locaux. Il est possible de montrer que le modèle complet se réduit à un modèle simplifié où un terme de diffusion est ajouté pour tenir compte des processus radiatifs. Nous nous intéresserons à la résolution numérique de ce modèle simplifié et nous présenterons des résultats obtenus dans ce régime où le milieu est optiquement très épais.

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Quora constitue l’un des plus gros forums de question/réponse au monde. Une des problématiques principales émerge lorsqu’un ou plusieurs utilisateurs posent la même question, menant les contributeurs à répondre plusieurs fois à la même question, dégradant ainsi la recherche de questions et de réponse de la part des utilisateurs. Kaggle est une plateforme internet où certaines entreprises partagent leurs données dans le cadre de concours de prédiction sur des problématiques précises. Cette plateforme organisait mi-2017 un concours de prédiction sur les données de Quora, ayant pour objectif de déterminer, à partir du texte d’un couple de questions (q1, q2), si q1 et q2 sont les mêmes questions ou non (dans le sens où ces deux questions, posées différemment, mènent ou non à la même réponse). Une telle problématique implique l’utilisation intensive d’outils statistique d’analyse de texte à l’état de l’art, telles que le Deep Learning, le Natural Language Processing (NLP), ou encore de l’analyse statistique de graphes. L’approche des gagnants de ce concours est présentée par l’un des membres de cette équipe.

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Après avoir présenté quelques unes des idées essentielles de la théorie de l’évaluation des options on présentera le modèle de Black & Scholes. Dans ce modèle de marché, le prix d’une option se calcule en résolvant une EDP parabolique et le problème inverse associé est celui de la reconstruction d’un paramètre de la dynamique de l’actif sous-jacent ("la volatilité"). La résolution de ce problème inverse fait apparaitre une des limites du modèle et motive le développement de modèles plus fins pour le sous-jacent. On évoquera alors à ce sujet le modèle de Dupire en insistant sur le changement de point de vue qu’il propose et l’impact que cela a sur le traitement pratique du problème inverse. Enfin on proposera un modèle de marché à changement de régime dans lequel le prix d’une option se calcule en résolvant un système d’EDP paraboliques et on cherchera à savoir, dans un cas simple, si l’observation des prix d’options sur le marché détermine la dynamique du sous-jacent et en particulier sa volatilité.

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Etude de l’influence d’un bruit blanc sur les solutions de l’équation de Benjamin-Bona-Mahony (BBM). L’étude du problème déterministe est connue mais présente cependant une difficulté dans le cas d’une équation non linéaire. On en donne ici la solution sous forme de Duhamel, que l’on appelle aussi « solution mild ». Dans le cas stochastique, un résultat important d’existence et d’unicité est démontré. Les solutions s’expriment également sous forme de Duhamel et des simulations numériques permettent de les visualiser. Les solutions aux deux problèmes possèdent certains invariants (notamment la norme H1) mais présentent aussi une décroissance en norme infinie que l’on appelle dispersion.

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Qu’entend-t-on par « espace non-commutatif » ? Pour le comprendre, nous ferons tout d’abord un détour furtif par l’univers de la géométrie algébrique afin d’apercevoir la correspondance (correspondance de Gelfand) liant les espaces de fonctions et les espace « réels » sous-jacents (via la théorie des idéaux). Ainsi, de façon rigoureuse, nous définirons un espace non-commutatif comme étant l’espace sous jacent symbolique (puisqu’il n’existe pas à proprement parler) d’un espace de fonction dont on omettrait la commutativité. Fort de cela, nous pourrons enfin définir la théorie des C*-algèbres (équivalent non-commutatifs des espaces topologiques) et celle des algèbres de von Neumann (équivalent non-commutatifs des espaces mesurés). Il sera alors naturel de se poser deux questions : peut-on étendre cette construction du « non-commutatif » à d’autres catégories d’objets ? Nous verrons que la réponse est partiellement positive, en donnant notamment trois types d’exemples : construction de Connes pour certaines variétés (généralisant les variétés spinorielles compactes), catégorie des groupes quantiques topologiques (généralisant les groupes compacts ou localement compacts), ou, plus simplement, pour une C*-algèbre A, la catégorie des A-module projectif de type fini (généralisant les fibrés vectoriels continus). La seconde interrogation légitime est de savoir si certaines constructions naturelles inhérentes aux espaces précédemment cités s’étendent à leurs variantes non-commutatives ; nous verrons que c’est partiellement le cas : nous expliquerons ainsi comment obtenir la dimension d’une variété Riemanienne compacte, comment définir la notion de représentation ou d’action d’un groupe quantique compact et nous survolerons, enfin, la construction d’une K-théorie des C*- algèbres, dont nous décrirons l’analogie avec la K-théorie des espaces topologiques classiques.

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The formation of massive stars is much less understood than for their low-mass (solar-type) counterparts. Their key property is their higher luminosity and thus the higher radiative pressure. Thus, from 1D simulations this pressure counteracts gravity and stops the further accretion that could feed them. This explains the need of higher-dimensional simulations with a proper treatment of the radiative transfer. I will discuss the state of the art of massive star formation, and present the radiative transfer model I am implementing in the (radiation-)hydrodynamical code RAMSES.

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A methodology based on Markov chains and dynamic entropy measures is proposed for measuring and forecasting the evolution of the inequality of financial risks in the European Union (EU). The proposed methodology requires knowledge of the past evolution of sovereign credit rating for the EU member states and historical data concerning harmonised interest rates of government bonds. The methodology is applied to real data from European countries for the three rating agencies Fitch, Moody’s and Standard & Poor’s. Obtained results show that, although these rating agencies share similar view on the rating assignment process, they have a different perception of the risk when expressed in terms of basis points and this fact determines divergences on the forecasted financial inequality in the EU. The development of an open source and user friendly (i.e. we implemented also a Graphical User Interface) software (https://github.com/lstorchi/markovctheil) will permit the replication of all the results both for the actual scenario in the EU and for possible future scenarios as the Brexit.