Combinatoire algébrique à Reims

Les exposés auront lieu dans la salle des séminaires du département MMI, bâtiment 2-3, Campus Moulin de la housse. Voir Localisation.

par Cédric Lecouvey
Les graphes multiplicatifs sont des graphes dont la matrice d’adjacence se plonge dans une sous-algèbre de matrices admettant une base particulière indexée par ses sommets et dont les coefficients de structure sont positifs (ou des polynômes à coefficients positifs). On peut construire facilement de tels graphes a partir de l’algèbre d’un groupe fini ou de son algèbre des caractères. D’autres constructions simples de ce type de graphes s’obtiennent à partir des bases classiques des fonctions symétriques. De façon plus subtile, on peut définir de nombreux graphes positivement multiplicatifs à partir des éléments de la grassmannienne affine associée à un groupe de Weyl affine. Ces graphes sont reliés à des modèles probabilistes et physiques intéressants (marches dans les alcôves, TASEP etc.). L’exposé consistera en une introduction à ces notions. Il s’agit d’un travail en commun avec J. Guihot et P. Tarrago.

par Jérémie Guilhot
Le but de l’exposé est de présenter des résultats récents sur le problème en apparence élémentaire suivant : à quelle condition deux représentations d’une algèbre de Lie simple sur le corps C obtenues par induction à partir de deux représentations irréductibles d’une sous-algèbre parabolique peuvent-elles être isomorphes ? Il s’agira de montrer comment ce problème est relié à celui de l’isomorphisme de produits tensoriels de représentations via des généralisations de la dualité de Schur-Weyl.

par Jean-Baptiste Gramain
Un des problèmes les plus difficiles de la théorie des représentations modulaires des groupes finis est la détermination de la matrice de décomposition. Ce problème est encore ouvert pour le groupe symétrique \$S_n\$ et le groupe alterné \$A_n\$. Dans certains cas, l’utilisation d’un ensemble basique permet de résoudre ce problème, ou au moins de le simplifier. Cependant, l’existence d’ensembles basiques pour tout groupe fini reste conjecturale. Dans cet exposé, je présenterai l’état des lieux concernant l’existence d’ensembles basiques, puis me concentrerai sur les groupes \$S_n\$ et \$A_n\$. Après avoir présenté la combinatoire qui décrit les représentations de ces groupes, je présenterai d’anciens résultats de Brunat et Gramain qui montrent l’existence d’ensembles basiques pour \$A_n\$. Je définierai ensuite la notion d'ensembles basiques unitriangulaires qui, quand ils existent, fournissent un étiquetage des caractères de Brauer modulaires. Je finirai en présentant des résultats récents de Brunat, Gramain et Jacon et de Bernal concernant l’existence d’ensembles basiques unitriangulaires pour \$A_n\$.

par Maria Chlouveraki
La combinatoire des multipartitions joue un rôle-clef dans la théorie des représentations des algèbres de Ariki-Koike, qui généralisent les algèbres de Iwahori-Hecke de type A et B. Dans cet exposé, nous verrons comment nous pouvons utiliser des abaques pour calculer le défaut d’une représentation irréductible et montrer que cette dernière est un invariant de blocs. Ceci est un travail en commun avec Nicolas Jacon.

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